تاريخ النظم العددية في الحضارات القديمة                                     

أهتم الإنسان منذ قديم الزمان بالعد والحساب ، فالإنسان الأول عَد الأشياء من حوله والتي تحيط به في الطبيعة ، الأشجار الجبال الأنهر والخ من الأشياء . وبعد تحول الإنسان من حياة الصيد إلى حياة التدجين من خلال التجمعات السكانية والجماعات البشرية التي انتقل إليها في مراحل تطوره الحياتي ، في خطوة أولى لبناء القرى والمدن اتضحت حاجته الماسة إلى العد والحساب ، لعد مواشيه وحيواناته لعد مخزونه ، وبالتالي لعد الأيام والفصول . لم يكن العد في بداياته متطورا كما هو عليه اليوم ، إذ لم يكن هنالك نظام عددي معين مثل ما نستخدم نحن اليوم النظام العشري ، وكثير منا لا يدرك أهمية النظام العددي ، ولكي نفهم تلك الأهمية نضع نحن الآن تعريفا مبسطا للنظام العددي ونقول بأنه نظام يمثل مجموعة من الأعداد المحدودة وبتكرارها أو بكتابتها مع بعض تعطينا أعداد أكثر ضمن صيغ محددة في النظام وتخضع إلى أسلوب معين في العمليات الحسابية الأولية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة ، وكتوسع أكبر نقول إن النظام العشري المستخدم اليوم يمثل عشرة أعداد هي 0 ،1، 2، 3 ،4 ،5 ،6 ،7 ،8 ،9 أما النظام الثنائي فهو نظام يستخدم العددين 0 ،1 فقط ولكل نظام عددي مميزاته وخصائصه مثلا اليوم اغلب الحاسبات الالكترونية تستخدم النظام العددي السادس عشر لخصائصه المتميزة في العد والحساب ولكنه لنا نحن الأشخاص العاديين يعتبر معقد وصعب ربما لأننا تعلمنا منذ صغرنا على النظام العشري . لم يكن هنالك ظهور للأنظمة العددية في التاريخ لغاية الألف الثاني قبل الميلاد ، وحسب ما تشير المراجع التاريخية انه في بلاد بابل ظهر النظام العددي الأول وهو النظام الستيني الذي لحد اليوم يستخدم في حساب الوقت حيث الساعة ستون دقيقة والدقيقة ستون ثانية وهكذا وهو أيضا ما مستخدم اليوم بالتقويم السنوي . اعتمد الإنسان بالدرجة الأولى في الحضارات القديمة البدائية على أصابع اليد في العد ، وكانت هناك حتى وقت قريب قبائل بدائية في أفريقيا وقبائل أخرى من سكان أميركا الأصليين لا يستعملون في لغاتهم سـوى ما يقابل ( واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ) ولم تكن لديهم تسمية خاصة للعدد خمسة فيقولون عن كل ما يزيد عن الخمسة بأنه ( كثير ) ، وكانت قبائل أخرى تقول عن العدد خمسة بأنه ( اليد ) ، ويمثلونه باليد اليمنى ، ويعبرون عن العدد ستة بقولهم ( واحد على اليد اليسرى ) وعن العدد سبعه ( اثنان على اليد اليسرى ) وهكذا... وأما عن العدد عشرة فيقـولون ( كلتا اليدين ) ثم يبدؤون بأصابع القدم اليمنى ثم اليسرى . يقدم لنا علماء الآثار والمؤرخون أمثلة عديدة ومختلفة عن طرق العد والحساب البدائية عند الإنسان ، استمرت شعوب وقبائل كثيرة باستخدامها حتى بعد الألف الأول الميلادي ، بينما طورت حضارات أخرى نظام العد والحساب منذ ألفي عام قبل الميلاد ، منهم الحضارة البابلية في وادي الرافدين وحضارة الفراعنة في وادي النيل وحضارة السند في الهند والحضارة الرومانية والإغريقية في أوربا . استخدمت بعض الحضارات عوضا عن الأصابع ( الحصى ) ، وكلمة الحصى باللاتينية ( Calculi ) ومنها جاءت كلمة ( Calculation ) أي الحساب ، وكلمة ( Calculator ) أي الحاسب أو المعداد . في آخر النصوص التي عثر عليها في أهرامات مصر كتب ما يلي ( إن روح الشيطان قد تحدت فرعونا مصريا على أن يستطيع عد أصابعه ليجتاز الامتحان بنجاح. أن اختراع الإنسان للكتابة كان له أثر بالغ في تطور العد والحساب إذ وضع رموزا معينه لتمثيل الإعداد كان أقدمها أسلوب العد الممثل بالجدول رقم (1) الذي يطلق عليه النظام أو الأسلوب الأحادي(Unary System ).ويمكن أن نلاحظ أن هذا الأسلوب متعب خصوصا إذا كانت الإعداد التي نكتبها كبيرة، مما أدى في نهاية الأمر أن الإنسان بدأ يختصر بعض الأرقام بإعطائها رموزا خاصة بدلا عن التكرار العمودي فمثلا مَثَل المصريون الرقم عشرة بالرمز ( ∩ ) وذلك حولي (3350 )ق.م. وبعض الحضارات الأخرى استخدموا أساليب أخرى غيرها، ولكن الأمر لا يبتعد عن وجود بعض المعوقات في هذه الاستخدامات، ما دفع الإنسان دوما إلى التجديد والتطوير والبحث. والمباحث التالية لتفاصيل الأنظمة العددية عند كل حضارة على حده.

نظام العـد البابلي

الحقيقة والتي لا تخفى على احد أن وادي الرافدين ( دجله والفرات ) و شعوبه كان احد أعمدة المجتمع الإنساني في العصور الأولى ، بكل ما سكنته من حضارات وإمبراطوريات ودويلات. أولى الألواح الطينية التي اكتشفت في وادي الرافدين تعود لحوالي (2300 ) ق. م وما بعدها ، وكانت مكتوبة بالخط المسماري (الذي لا يستخدم الصور) ، ومنها استدل إلى الطريقة التي بها كتب البابليون الأرقام وأساليب العد ، حيث وجد أن البابليون استخدموا الطريقـة العشــرية والطريقة الستينية ( حسب عدد الإعداد الأساس التي يتكون منها النظام ففي العشري هي عشرة أعداد والستيني هي ستون عددا ) ، لم يستطيع العلماء والاثاريون أن يستدلوا على شكل ثابت لهذه الإعداد حيث لوحظ أنها اختلفت باختلاف فترات الحكم ، ومن المؤكد أنهم استخدموا الإعداد من (1) إلى (9) بخطوط عمودية كما في النظام المصري ولكنها كانت مسمارية الشكل لاستخدامهم أداة كتابة خاصة تعطي هذا الشكل واستخدموا الرمز ( >) للعدد 10 ومثلوا الإعداد من (1) إلى (59) بتكرار رمز الواحد ورمز العشرة ، كما لابد من الإشارة إلى انعدام أهمية مكان وموضع العدد ، فيجوز كتابة العدد (23) والـذي يكتب بالشـكل ( ¡ ¡ ¡ > > ) أو بالشكل ( > ¡ ¡ ¡ > ) أو بأي شكل أخر ، حيث ذكرت انه لا أهمية للموقع ولا للمرتبة عندهم ، كما لا يفوتني هنا الإشارة إلى أنهم استخدموا الفراغ للدلالة على عدم وجود عدد ، أي ما نعرفه اليوم بالصفر ، وكان هذا أول استخدام للصفر عبر التاريخ لكن لم يكن بالمعنى والخصائص الرياضية التي نعرفها اليوم عن الصفر، حيث كان لاستخدامه خصائص أخرى ممكن أن تكون لنا اليوم غريبة بعض الشيء لكنها ليست كذلك للذين يعرفون استخدام النظام الستيني ، والغرابة تكمن في استخدامهم للمكانة الفراغية ( أي الصفر) والعدد (60) ، يمكن ملاحظة ذلك في طريقة كتابتهم للعدد ( ¡ ¡ فراغ ¡ ¡ ¡ > > > > ) حيث يمثل العدد التالي :- 2 + صفر + ¹60 + 43 * 60 ² = 2 + 0 + 154800 وهو ما يساوي العدد ( 154802 ) إذن نجـد أن الفراغ كان للـدلالة إلى القيمة المكانية أكثر مما لدلالة القيمة الصفرية ، من هذا يمكننا أن نستدل إلى أنهم ميزوا الحاجة إلى عدد له خصائص الصفر وأسموه ( القيمة الخالية ) ، ومع مرور الزمن استخدموا الرمز ( ∑ ) للدلالة على هذه القيمة ، لكنهم لم يعطوه خصائص الصفر المعروفة لدينا اليوم. كان البابليون مهره في علوم الرياضيات والطبيعة ، وهذه المهارة تطلبت منهم البحث والتطوير المستمر لتلبية احتياجاتهم الحياتية والعلمية ، وما كان لاكتشافهم للصفر أو القيمة الفراغية بين الإعداد ونظام العد الستيني إلا نتيجة لتطور بحوثهم واحتياجاتهم العلمية وهذا التطور في علوم الحساب والرياضيات أعقبه تطور مهم جدا في العلوم التي تعتمد على الحساب والرياضيات مثل علوم الفلك ، حيث لهم به مكانة مهمة وكبيرة من تقسيمات الزمن والتي لحد يومنا هذا نستخدمها ، فكثير منا لم ينتبه إلى اننا نقسم الساعة إلى ستين دقيقة والدقيقة إلى ستين ثانية ، فهي ليست سوى التقسيم البابلي الستيني للأعداد والذي اعتمدوه منذ ذلك الوقت ، وكذلك أشهر السنة وعدد أيام الشهر وما غير ذلك .

نظام العد المصري

لعل من محاسن تطور الإعداد لدى قدماء المصريين ( الفراعنة ) هو ارتباطها بطريقة الكتابة الهيروغليفية ، التي اعتمدت على استخدام الصور والحالة التصويرية أي أنها كتابة صورية الأمر الذي دعي الفراعنة إلى استخدام الأشكال الصورية حتى في كتابة الإعداد وهذا الأمر اختصر من الزمن الكثير في تطور الإعداد لديهم ، فكما لاحظنا عند البابليين أنهم احتاجوا إلى وقت طويل إلى الوصول إلى حالة استخدام الرموز في كتابة الإعداد بدلا عن النظام الأحادي في الكتابة والترميز للإعداد الذي يعتمد إلى شكل واحد وتكراراته . نظام العد المصري اعتمد على نظام العشري واستقوه من عدد أصابع اليدين وهذا كان له محاسنه ومساوئه ، من محاسنه انه نظام غير معقد سهل الاستخدام للأشخاص العادين لتعود العين والحواس البشرية على العدد عشرة ومضاعفاته كوننا خلقنا بعشرة أصابع ، فعقلنا لا يحتاج إلى تعليم وإدراك وتخيل أعدادا من ستين رقما كما في نظام العد البابلي . ومن مساوئه كفايته للقدماء المصرين ولم يجبروا على البحث والتطوير كما حدث مع البابليين مما أدى إلى توقف تطور العلوم الأخرى المتعلقة بالحساب والرياضيات .

ابتكر المصريون للنظام العشري الخانات والمراتب وكان هذا ابتكارا كبيرا لاحقا لتطور الإعداد ، حيث قسموا العدد إلى مراتبه من الآحاد والعشرات والمئات والى أخره ، ووضعوا رمزا خاصا للرقم في كل مرتبة من المراتب وكانوا يكررون هذا الرمز بمقدار قيمة الرقم في الخانة الخاصة به ويمكن ملاحظة ذلك في الجدول رقم (2) ، ولم يكن في نظامهم أي أهمية لموقع المرتبة أو القيمة المكانية ولم نجد رمزا خاصا للصفر والسبب يعود لأنهم استقوا هذا النظام من أصابع اليدين فلم يعرفوا الصفر لاستحالة وجود شخص بدون أصابع إطلاقا . وكمثال للكيفية التي بها كتب الفراعنة والمصرين الإعداد نكتب عددا من مرتبة الملايين كما التالي : (1320033 ) ويمكن أن نستنتج صعوبة إجراء العمليات الحسابية لكبر حجم الإعداد وإشكاليات كتابتها من حيث الرموز المستخدمة وهذا سبب يؤكد لنا عدم تطور الرياضيات بصورة واضحة عند المصريين وعدم اعتماد حضارات أخرى هذا الأسلوب في كتابة الإعداد ، هذا ما وجده اللغويين أيضا في أن الحروف الهيروغليفية لم تنتقل إلى حضارات أخرى واعزوه إلى الصيغة الصورية في كتابة الأحرف وصعوبة التعبير فيها.

نظام العد الإغريقي

عرف الإغريق بأنهم حضارة اتصلت اتصال تجاري مع الحضارات المجاورة لها، وخاصة حضارات حوض البحر الأبيض المتوسط، وعرفوا فلسفة هذه الأمم وأساطيرها وفنونها ومعارفها. ومن الحضارات الكبيرة التي جاورتهم هي حضارة الفراعنة في مصر ، وكان ذلك حوالي القرن السابع قبل الميلاد ، ونهل الإغريق من كهنة المصريين الكثير من العلوم والمعرفة، حيث نفلت طرق المصريين في المعارف إلى الإغريق وهذا ما يتضح من طريقة الإغريق في كتابة الإعداد المشابهة للمصريين . كما ذكرت أن الإغريق اخذوا من الحضارات المجاورة لها الكثير وهذا أيضا ينطبق على الإعداد والنظم العددية فكان تأثير الفراعنة واضح وكذلك تأثير العرب والآراميين ، فكان نظام العد الإغريقي نظام معقد وصعب ليس فقط في كتابة الإعداد وإنما في إجراء العمليات الحسابية أيضا ، والحقيقة أن اغلب الأنظمة العددية التي تعتمد في أعدادها الرموز لقاعدة عريضة وطويلة من الإعداد كانت تواجهه صعوبة في إجراء العمليات الحسابية ، وهذا ما سوف نحلله لاحقا في مباحث أخرى من هذا الكتاب. لمزج الإغريق الأحرف الأبجدية مع رموز أعدادهم تمثلت الصعوبة في نظام العد الإغريقي الأمر الذي بالتالي أدى إلى تأخرهم بالرياضيات بصورة خاصة مما لهذه الصعوبات العديدة وما خلقته من مصاعب ومشاكل. وجد للإغريق نظامان عدديان الأول متأخر والثاني قد تطور بعض الشيء ، وهذا لابد حدث لاستمرارهم بالاتصال بالحضارات القديمة ويمكنانهم في الأول اخذوا الشيء الكثير من الفراعنة واستحدثوا نظامهم العددي الأول أو القديم الواضح في الجدول رقم ( 3 ) السابق ويمكن لنا من الجدول السابق رقم (2) ملاحظة القرب بين الإغريق والفراعنة ، وكذلك نلاحظ أن الإغريق أول من اهتم بالعدد خمسة (5) ومضاعفاته العشـرية (50) ، (500) ، (50000) وهذه حالة جديدة في أن يجعلوا لها رموز في النظم العددية عادة ما استخدمن الحضارات الإنسانية مضاعفات العــدد عشره ، وانأ بحقيقة الأمر أوعز ذلك للانتشار الإغريقي الكبير على عدة سواحل افريقية وشرق أوسطية وغيرها وهذه السواحل يسكنها أقوام وقبائل مختلفو المعرفة وكما ذكرنا سابقا أن هناك حضارات استخدمت أصابع اليد الواحدة وما سوى ذلك فأطلق عليه كثير ، وممكن أن الإغريق في تجارتهم احتاجوا إلى مضاعفات الخمسة العشرية في تجارتهم معهم ، وهذه الحضارات هي من حضارات العالم القديم ، وما يؤكد افتراضي هذا أنهم أي الإغريق احتاجوا بعد مدة من الزمن أن يطوروا نظام العد الخاص بهم إلى نظام أطلقوا عليه نظام العد الجديد وفيه لم يتم التركيز على مضاعفات الخمسة العشرية .هذا النظام العددي الجديد للإغريق أنهم استغنوا عن النظام الأحادي من العدد (1) إلى العدد (9) واستخدموا أحرف أبجدية بدلا عنها ، وتوسعوا بتحديد الإعداد من العدد (10) إلى العدد (900) برموز حرفية لكل منها حتى أصبحت الإعداد لديهم سبعه وعشرون عددا ، لكن دون أية أهمية لموقع العدد أو القيمة المكانية له.

نظام العد الروماني

اعتمد الرومان على الإغريق في مختلف علومهم ومعارفهم ، هذا ممكن أن يعود إلى تقارب اللغتين والتقارب الجغرافي فيما بينهم ، وكذلك أن الإغريق نقلوا الكثير من علوم ومعارف حضارات أخرى إلى الإغريقية من ترجمات وغيرها ، بالحقيقة كان هذا كنزا كبيرا للرومان كنز جاهز ومختلف كثيرا عن العلوم المعروفة في وقتها عند الرومان . من هذا الكنز الوفير مزج الرومان تركيبتهم الخاصة من النظام العددي، فلقد استخدموا النظام العشري مع الاحتفاظ بالرموز في تمثيل الإعداد ،حيث قسموا الإعداد إلى أعداد أساسية كما أسموها والتي هي ( 5 ، 10 ، 50 ، 100 ، 500 ، 1000 ) ومثلوها برموز وهي على التوالي ( V ،X ، L ، C ، D ، M ) وأعداد غير أساسية والتي هي ( 1 ، 2 ، 3 ) ومثلوها بالنظام الأحادي والتي هي على التوالي ( I ، II ، III ) وكذلك استخدموا الصيغة المكانية في كتابة العدد فالعدد الغير أساسي على اليمين فهو يجمع أما على اليسار فهو يطرح من الإعداد الأساسية ، لكن في الواقع كان هذا التطور عقبة في التطور البعيد للنظام العددي لديهم . في الحقيقة أن النظام العددي الروماني لم يتطور بهذه السهولة كما أدرجت سابقا لكنه قد مره بعدة حقبات ففي وقت لاحق من نظامهم العشري الأول اكتشفوا أنهم في مرحلة بدائية جدا ، الأمر الذي أجبرهم للرجوع إلى المعارف الإغريقية وخلق وابتداع نظامهم العشري الجديد الذي هو في حقيقة الأمر مزيج من النظام ألخمسي والعشري، فالعدد واحد رمزوا له بالإصبع الواحد أي بخط رأسي والعدد خمسة رمزوا لها باليد الواحدة ذات الأصابع الخمسة ، ولما كان الإبهام يتجه اتجاها آخرا عن باقي أصابع اليد فرسموا اليد هكذا ( ٧ ) وبالتالي فالعشرة كانت عبارة عن كلتا اليدين فكتبوا خمسة وتحتها خمسة مقلوبة للأسفل وكان يفصل بينهما فاصل بسيط للتمييز إنهما خمستان ( ٧ ) ثم مع مرور الزمن كتبوها بدون الفاصل بينهما فأصبحت كما معروفة اليوم بالحرف اللاتيني ( X ) ، والعدد اثنين كرروا رمز الواحد مرتان وهكذا مع العدد ثلاثة أما باقي الإعداد فكانت طريقة الجمع والطرح حسب موقع العدد غير الأساسي من العدد الأساسي . بقي الرومان يستخدمون هذه الطريقة حتى الألف الثاني بعد الميلاد ، وكان تطور النظام العددي لديهم مرتبط ارتباطا وثيقا بتطور اللغة اللاتينية فيما بعد ، والكثير من دارسي الأنظمة العددية علفوا تطور النظم العددية عند الرومان بحاجة اللغة اللاتينية لها وليس للحاجة الحسابية البحتة ، وهذا سبب كافي لتلكؤ تطورها لكون الذين عملوا بهذا التطور كانوا لغويين لا غير . الكثير من الباحثين الأوربيين في القرون الأولى بعد الميلاد اعتبروا النظام العددي الروماني هو قمة فخر تطور الإنسانية ، لكن بالحقيقة كانت هناك حضارات أخرى عديدة على الكرة الأرضية لديها من الأنظمة العددية ما هو متطور جدا عما للرومان ، كانوا على سبيل المثال لا الحصر يعتقدون أن استخدامهم للمكان ( ألموقعيه ) في كتابة الإعداد هو قمة هذا التطور ، بل على العكس نرى أن هذا الأمر كان المعرقل الكبير في تطور نظامهم هذا لم يستخدموا ألموقعيه لقيمة الرقم كما سنرى ذلك عند الهنود وكما نطلق عليه اليوم الخانات ( الآحاد والعشرات والخ ) ، ونرى هذا بدقة عندما نرغب بكتابة العدد ( 1988 ) بالنظام الروماني : ( MCMLXXXVIII ) لاحظ إن قراءة العدد يجب أن تكون من جهة اليمين وحوالي العدد الأساسي الأكبر كما في الرقم ثمانين هنا في مثالنا أعلاه ، كانت العمليات الحسابية جدا معقدة بهذا النظام ومتعبة غي نفس الوقت ، ما تجدر الإشارة إليه هنا هو عدم استخدامهم للصفر ولا نجد له أي رمز أو إشارة وكثيرة هي أسباب عرقلة هذا النظام لاحقا